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　　原码,补码,反码概念和计算方法详解

　　一、机器数和真值

　　在学习原码，反码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念。

　　1、机器数

　　一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1.

　　比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

　　那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

　　2、真值

　　机器数的第一位是符号位，后边才是真正的数值，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

　　例：

　　0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

　　1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

　　二、原码，反码，补码的基础概念和计算方法

　　在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码，反码和补码的概念。对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码，反码，补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

　　1. 原码

　　原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如如果是8位二进制：

　　[+1]（原码） = 0000 0001

　　[-1]（原码） = 1000 0001

　　第一位是符号位。因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：

　　[1111 1111 , 0111 1111]

　　即

　　[-127 , 127]

　　原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

　　2. 反码

　　反码的表示方法是: 正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

　　[+1] = [00000001]（原码）= [00000001]（反码）

　　[-1] = [10000001]（原码）= [11111110]（反码）

　　可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。

　　3. 补码

　　补码的表示方法是：正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1 (即在反码的基础上+1)。

　　[+1] = [00000001]（原码） = [00000001]（反码） = [00000001]（补码）

　　[-1] = [10000001]（原码） = [11111110]（反码） = [11111111]（补码）

　　对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。

　　三、为何要使用原码，反码和补码

　　在开始深入学习前，我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码，反码和补码的表示方式以及计算方法。

　　现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

　　[+1] = [00000001]（原码） = [00000001]（反码） = [00000001]（补码）

　　所以不需要过多解释. 但是对于负数:

　　[-1] = [10000001]（原码） = [11111110]（反码） = [11111111]（补码）

　　可见原码, 反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式。为何还会有反码和补码呢?

　　首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减 (真值的概念在本文最开头)。但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单。计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

　　于是人们开始探索，将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码：

　　计算十进制的表达式: 1-1=0

　　1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

　　如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

　　为了解决原码做减法的问题，出现了反码：

　　计算十进制的表达式: 1-1=0

　　1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

　　发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

　　于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题:

　　1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

　　这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

　　(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

　　-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示 (对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)。

　　使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。推荐了解C++培训课程。

　　因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

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